函数的基本性质-沪教版必修1教案

函数的基本性质

一、单调性定义

1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A，若对于任意的x₁，x₂∈M，当x₁<x₂时，都有f(x₁)__ f(x₂)，则f(x)为区间M上的增函数．对于任意的x₁，x₂∈M，当x₁<x₂时，都有f(x₁)__ f(x₂)，则f(x)为区间M上的减函数．

2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．

二、单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．

2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增)函数，为增(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．

5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

三、函数单调性的应用有：

(1)比较函数值或自变量值的大小．

(2)求某些函数的值域或最值．

(3)解证不等式．

(4)作函数图象．

四、函数的最大(小)值：

定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：

(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；

(2)存在x₀∈Ⅰ，使得f(x₀)＝M.

称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．

五、复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

六、解题技巧

1．函数单调性的证明方法

(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

①任取x₁、x₂∈D，且x₁<x₂；

②作差f(x₁)－f(x₂)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；

③依据差式的符号确定其增减性．

(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．

2．函数最值的求法

(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．

1.(2010·天津模拟)函数y＝ (－x²－2x＋3)的单调递增区间为________．

2.(文)函数y＝a^x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为(　　)

A.　　　B．2　　　　C．4　　　　D.

3.(文)(2010·济南市模拟)设y₁＝0.4，y₂＝0.5，y₃＝0.5，则(　　)

A．y₃<y₂<y₁       B．y₁<y₂<y₃

C．y₂<y₃<y₁       D．y₁<y₃<y₂

4．(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是(　　)．

A．(－1,1)  B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是(　　)

A．y＝log_0.5(1－x)  B．y＝x^0.5

C．y＝0.5^1－x  D．y＝(1－x²)

6．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a＝2，b＝，c＝^0.3，则(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜c＜a  D．b＜a＜c

7．(文)(2011·北京模拟)设函数f(x)＝，若f(a)>a，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(0,1)

8．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝a^x＋log_ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log_a2＋6，则a的值为(　　)

A.  B.  C．2  D．4

9．(文)如果函数f(x)＝ax²＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

10.(文)(2011·平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x₁，x₂∈[0，＋∞)(x₁≠x₂)，有<0，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)  B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)  D．f(3)<f(1)<f(－2)

11．(文)已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

一、函数的奇偶性

1．奇偶性的定义

设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝______ (或f(－x)＝_____)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．

2．关于奇偶性的结论与注意事项

(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．

(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．

(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．

二、函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝____，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．

(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N^*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．

1.(2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)

A．y＝2^|x|　　　　　　 B．y＝x²－x

C．y＝2x             D．y＝x³

2.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，(　　)是R上的偶函数(　　)

A．y＝x²－2x　　　　　　B．y＝2^x

C．y＝cos2x  D．y＝

3.(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A.　　　　　　　　　B.

C.                  D．1

4.(文)(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

5．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2^x－3，则f(－2)的值等于(　　)

A．－1  B.     C．1  D．－

6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()^x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．

7．(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为(　　)

A．－  B．－       C．－8  D．8

8．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x²＋1.则f(－5)＝________.

9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)

A．－1          B．1        C．－2          D．2

10．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为(　　)

A．a  B．－a       C．0    D．2a

11．(2011·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝2－，且对任意的x都有f(x＋3)＝，则f(2010)的值为(　　)