司机醉驾冲卡逃跑后抓住的处罚是一般会追究当事人的刑事责任，会处一个月到六个月的拘役，同时还要吊销当事人的驾驶证；如果造成了人员的伤亡那么还会以交通肇事罪来进行处罚。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条饮酒后驾驶机动车的，处暂扣一个月以上三个月以下机动车驾驶证，并处二百元以上五百元以下罚款酒后驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下机动车驾驶证，并处五百元以上二千元以下罚款。
饮酒后驾驶营运机动车的，处暂扣三个月机动车驾驶证，并处五百元罚款酒后驾驶营运机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，处十五日以下拘留和暂扣六个月机动车驾驶证，并处二千元罚款。